Muchos sabrán lo que es un fractal, o mejor dicho como apareció en su versión original, sin tanto photoshop, normalmente:

Para el que no sabe, hay dos maneras en la que puedo presentarlo, una para darles miedo:

Donde Z y C son números complejos, y el colorido del gráfico se basa en ver cuándo divergen los puntos al infinito, porque no pertencen al grupo y bla bla.


Coloreado, se ve así:

Fractal de Mandelbrot


También se los puedo presentar a través de imágenes dignas de un video de Los Beatles (es el mismo fractal, pero haciendo zoom):

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Hola de nuevo! 👋¿Cuánto tiempo se colgaron con la imagen?

Estas coloridas figuras forman parte de una rama de la matemática, ¿increíble no? Y...

¿Para qué sirven los fractales?

Una vez dando clases de machine learning, mostraba un fractal y un alumno preguntó: “profe, ¿para qué sirven?”

Y acá tuve una respuesta digna del mejor divulgador:

“Para hacer nubes!”

La cara del entusiasta alumno fue parecido a este emoji: 👀

Si, para hacer nubes, naturalmente no podría ser un vendedor matemático… pero sí, sirven para hacer nubes en programas de edición. Uno en realidad podría abrir el Paint y hacer una nube, pero esta nube no quedaría realista.

Y acá se abre una arista importante, lo fractal, que tiene que ver con lo caótico, es lo que le da el toque natural al dibujo de una nube, el contorno de las montañas, o lo irregular de la costa de algún país.


Este es el programa de edición After Effects con un plugin para hacer animaciones basadas en patrones fractales:

Fuente

Eso significa que, alguien podría pagarles por crear un cielo mas realista en el próximo Fortnite, y que además sea rápido cuando están jugando a 90 FPS.

Fractales en series de tiempo

Hoy para venderle un fractal a ese alumno, le hablaría de que le sirve para obtener información de las series de tiempo. Citando a wikipedia:

"El exponente de Hurst se utiliza como una medida de la memoria a largo plazo de las series temporales. Se relaciona con las autocorrelaciones de las series temporales, y la tasa a la que éstas disminuyen a medida que aumenta el desfase entre los pares de valores." 🤯

Clarísimo! Bueno no es tan confuso si conocen de series de tiempo, una traducción al lunfardo, seria:

“El exponente de Hurst mide cuán compleja es la serie de tiempo”.

Digamos que a mayor complejidad, se complica más la predicción. La vida misma. Algo equivalente a tratar de predecir el clima el próximo mes.

Así que si vos, alumno del año 2018 estás leyendo este post: todavía tengo un fractal para venderte!


Una perspectiva de ciencia de datos

Cuando veo indicadores, siempre me fijo su rango, y qué sucede en sus extremos. Luego podemos pasar a la definición matemática.

A continuación, tenemos varias series temporales, y vemos cómo varía el exponente H (Hurst), de acuerdo a su complejidad.

Fuente

Fíjense que a pesar de que no vieron la fórmula, con este simple gráfico pueden empezar a tener una intuición de lo que mide

A medida que el exponente (H) es más cercano a 1, menos detalle tiene la serie de tiempo.

Saltemos de dimensión!

Este exponente nos lleva a la dimensión fractal: un indicador que mide lo “salvaje” de la serie. Solo quiero comentar, que así como la línea tiene dimensión 1, el cuadrado dimensión 2, y el cubo dimensión 3…

Existen dimensiones intermedias al mejor estilo andén de Harry Potter:

(No vi la película, pero se de su existencia, y asumo es un ejemplo análogo)

Por ejemplo, esta figura tiene dimensión 1.26 (ni 1D ni 2D!)

Figura: Koch snowflake

Volvamos a la dieta! 🍽

Nos derivamos con muchas imágenes, exponentes y demás! Y caímos en la ordenada complejidad de los fractales...

El título era “la dieta”, vamos a comer fractales! Como el siguiente:

Y eso es un brócoli, y esto también:

Cada uno de esos picos es un brócoli en sí mismo, tiene una estructura auto-similar. Algo así como que uno hace zoom, y siempre aparece el mismo patrón general.

Desde el punto de vista de la naturaleza, con poquitas instrucciones de cómo tiene que crecer, crea esa compleja estructura que, además, me arriesgo a decir es la estructura óptima para maximizar algo: superficie al sol, algún nutriente… “algo”.

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Hola de nuevo! Han sido hipnotizados por un brócoli 🌀🥦.

Pero bueno, aparentemente la self-similarity no es una característica que siempre describe a los fractales, tal como lo explica 3brown1blue en este video. Pero sin duda es un atributo que los describe.



Y si todavía están ahi y son fan de los datos, los invito a ver otras notas del blog, y a anotarse en un curso gratuito de Desembarco en R (hay otro pago con soporte por mí y certificado).

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